Пример задачи: «В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов».

Можно ли обойтись без составления уравнений? Как решить такую задачу двумя разными арифметико-логическими подходами? Чем отличаются метод лишних и метод недостающих? Как решить такую задачу упорядоченным перебором всех возможных вариантов? Как удобно оформить каждый способ решения? Как отличить такую задачу от похожих? Какие похожие задачи можно встретить на олимпиадах в начальной школе и как их решить полным перебором или подбором минимальных равных наборов?

Пример задачи: «Вася, Петя, Алеша и Саша носят фамилии  Васечкин, Петечкин, Алешечкин и Сашечкин. Про них известно, что:
            Вася и Алешечкин – ученики одной школы;
            Петя и Васечкин учатся в соседней школе;
            Васечкин ростом выше Петечкина;
            Саша ростом ниже Петечкина;
            Алеша и Петя имеют одинаковый рост.
Назвать фамилию и имя каждого мальчика.».

Как решить такую задачу с помощью цепочки рассуждений? Как упрощает решение конструкция, называемая «логическим квадратом» (таблица «объекты-свойства»? Как построить и заполнить такой квадрат, чтобы он работал как «ловушка для информации»?  Как научиться, по мере усложнения задач, извлекать полностью необходимую информацию из текста задачи? Как быть, когда соответствие предлагается установить между более чем двумя различными параметрами?

Пример задачи: «Три ученика различных школ города Новгорода приехали на отдых в один летний лагерь. На вопрос вожатого, в каких школах Новгорода они учатся, каждый дал ответ:
Петя: «Я учусь в школе № 24, а Леня — в школе № 8».
Леня: «Я учусь в школе № 24, а Петя — в школе № 30».
Коля: «Я учусь в школе № 24, а Петя — в школе № 8».
Вожатый по¬просил ребят объяснить, где правда, а где ложь. Тогда они признались, что в ответе каждого из них одно утверждение верно, а другое — ложно.
В какой школе учится каждый из мальчиков?».

Как решать простейшие задачи, исходя из заданной истинности и ложности высказываний? Как оформлять словесное объяснение к таким задачам? Как решать такие задачи с набором высказываний перебором возможных событий? Как оформить решение в виде удобной таблицы? Как быть, если высказывания «двойные»? Как решать такие задачи перебором значений высказываний? Как составить таблицу, если поле возможных событий делится по двум факторам? Какие задачи называют симметричными?

Пример задачи: «Три подруги сочинили для первоклассников 10 олимпиадных задач. Таня сочинила больше задач, чем Саня, но меньше, чем Маня. Сколько задач сочинила Таня, если Маня сочинила на 3 задачи больше Сани?».

Как сделать, чтобы перебор был полным? Как заметить все заданные фигуры на рисунке? Как выписать все числа с заданными свойствами?  Какие еще задачи можно решать полным перебором (рукопожатия, попытки подобрать ключ к замку и пр.)? Как он помогает в логических и алгебраических задачах?

Пример задачи: «К табунщику пришли три казака покупать лошадей, «Хорошо, я вам продам лошадей, - сказал табунщик, - первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму – половину оставшихся лошадей и еще половину лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?»

Как переключиться на обратный ход мысли? За какими процессами проще проследить с конца? Как оформить схемой решение задачи с перекладываниями (перелетаниями, передачами друг другу)? Как помогает «вернуться к началу» моделирование на отрезках? Почему не надо делить яйцо напополам? Как в «движении обратно» могут появиться треугольные числа? Как расставлять знаки действий и скобки в заданном наборе чисел или цифр, чтобы получить заданный результат?

Пример задачи: «Каких чисел больше: пятизначных с суммой цифр, равной трём или трехзначных с суммой цифр, равной пяти?»

Как перебирать числа, составленные из заданных цифр и обладающие заданными свойствами? Какие закономерности «работают» для количества чисел с заданной суммой цифр? Как составить число, «рассказывающее о себе»? Какими еще могут быть задачи про числа из цифр?

Пример задачи:«Аленушка собрала 180 яблочек. Красных яблок оказалось в 2 раза больше, чем зеленых, но в 3 раза меньше, чем желтых. Сколько собрано красных, сколько зеленых и сколько желтых яблок?»

Как выбор «части» (мерки) и схема заменяют составление уравнения? В каких задачах суммируются части? В каких задачах надо увидеть разницу «в частях»? Как на схеме показывать изменения «было- стало»? Как на отрезках-«частях» показать разницу между «раздала каждому по пять» и «раздала каждому по четыре»?

Пример задачи: «На весах 6 помидоров, 5 огурцов и 4 баклажана уравновешивают 2 помидора, 7 огурцов и 3 баклажана. Что тяжелее: 4 помидора или 2 огурца?»

Как перевести задачу с языка слов на язык математики? Что можно делать с равенствами? Как помогает решению «отнять одинаково от обеих частей»? Как помогает решению «заменить на равное»? Как помогает решению «сложить равенства по частям»? А что будет, если при решении сложить по частям равенство и неравенство? Как помогает решению то, что по условию оказывается постоянным (инвариант)?

Пример задачи: «В мешке лежат 7 красных, 8 зеленых и 12 синих шариков. Какое наименьшее количество шариков не глядя надо вынуть из мешка, чтобы среди них наверняка оказался один красный?»

Как работает принцип «в худшем случае», когда нужно «наверняка»? Какие соображения позволяют быстро определить четность или нечетность результата действия? Как соображения четности «работают» в задачах «на существование» (можно ли…)? Как «работает» доказательство «от противного» в совокупности с идеей четности? Как оно работает в простейших задачах на принцип Дирихле?

Пример задачи: «Вася каждое утро совершает пробежку от своего дома до берега реки и обратно. Часть пути до реки дорога идет в гору, остальную часть пути – с горы. Вася бежит в гору со скоростью 100 м/мин, а с горы – 200 м/мин. На пробежку туда и обратно Вася тратит 1 час. Найдите расстояние от Васиного дома до берега реки.»

Когда применения формулы vхt=s и знания «школьных алгоритмов недостаточно? Как применить обратно пропорциональную зависимость времени и скорости при прохождении равного пути? Как в таких задачах помогают таблицы «объект- величина»?